Прямо над нами: Ничто: математика начинается из ничего. Часть III

Ноль является цифрой, основой всей нашей системы исчисления. Благодаря ему есть возможность считать члены множества. Какие множества? Это должно быть множество без каких-либо членов. Это достаточно легко представить: бесконечное множество звезд на небе, количество космического мусора во Вселенной и.т.п. Существует также математическое множество без членов: пустое множество. Оно особенное, потому что все пустые множества имеют одинаковые члены: никакие. Для их обозначения используется символ θ, введенный в 1939 году группой математиков, которые выступили под псевдонимом Никола Бурбаки. Теория множеств нуждается в знаке θ по той же причине, по которой арифметика нуждается в ноле: вещи становятся намного проще, если вы его используете. На самом деле, мы можем определить цифру 0 как пустое множество.

А что можно сказать о 1? Интуитивно мы должны иметь множество ровно с одним членом. Нечто уникальное. Но пустое множество тоже является уникальным. Поэтому, мы определяем 1 как множество, в котором единственным членом является пустое множество: или в символах, {θ}. Это не то же самое, что и пустое множество, потому что оно имеет один член, тогда как пустое не имеет никакого. Этот член и является пустым множеством, но он есть, и он один. Представьте, что множество это бумажный пакет, который содержит свои члены. Пустое множество — это пустой пакет. Множественное число, в котором есть один единственный член — пустое множество — это опять-таки пустой пакет. В чем разница: пакет содержит в себе еще один.

Далее, что такое 2? Мы должны иметь какое-то особое множество с двумя членами. Так почему бы не использовать только два члена, которые мы уже упоминали до этого: θ и {θ}? Поэтому мы определяем 2 как множество {θ,{θ}}. Что, благодаря нашему определению, также можно записать как {0, 1}.

Теперь выведем закономерность. Определить 3 можно как {0, 1, 2}, далее 4 {0, 1, 2, 3}, 5 {0, 1, 2, 3, 4} и так далее. Все сводится к пустому множеству: например, 3 — это{θ, {θ}, {θ, θ {}}}, а 4 — это {4, θ, {θ}, {θ, {θ}}, {θ, { θ}, {θ, {θ}}}}.

Основными строительными кирпичиками здесь являются абстракции: пустое множество и сам процесс формирования множества путем перечисления его членов. Но то, как эти наборы связаны между собой, приводит к четко определенной структуре для системы исчисления, в которой каждое число — это некое множество, которое интуитивно имеет это самое количество членов.

[Источник]

Из твиттерлэнда:

Всякая тайна грудью крыта, а грудь подоплекой.

В другой мир ворота тоже должны быть качественными. Не иначе…

Leave a reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>